n組のデータ (xi,yi) (i=1,2,...n) について一次関数
f(x)=ax+b ........................... (1)
で近似することを考える。
データ yi と近似式 f(x) の偏差の二乗和 S
S=Σ[yi-f(x)]2 = Σ(yi-b-axi)2 ................................ (2)
を最小にするように関数を近似する事を最小２乗法という。
この S を最小にする a, b を求めるには、a, b を変化させた時の S の極値、つまり S を a, b
で偏微分した量が０になる a, b の値、を求めれば良い。
∂S/∂a=-2 Σxi (yi -b -a xi)=0
∂S/∂b=-2 Σ(yi -b -a xi )=0
これより、a と b が
b=(Y S2 - X S1)/(S2 - X2)
................................ (3)
a=(S1 - X Y)/(S2 - X2)
................................ (3')
と表される。ただし、
S1=1/n Σ xi yi , S2=1/n Σ xi2, X=1/n Σ xi , Y=1/n Σ yi
である。
(注)
while (fscanf(fp,"%lf %lf",&x[i],&y[i])!=EOF)
の EOF (End Of File) はファイルの終りを意味する。つまりこの while
は、ファイルの先頭からデータを読んで行き、ファイルの終りが来るまでループを行う。
＜実行＞
% a.out
f(x)=0.213667 + 0.000920 *x
% gnuplot
gnuplot>plot "input"
gnuplot> replot 0.213667 + 0.000920*x
gnuplot>q
下の図が得られます。
(課題P1−２)
f(x)=a exp(bx)
で近似することを考えよう。上式の両辺のlog をとると
log(f(x))=log(a)+bx
となるから、A=log(a) とおけば、
F(x)=log(f(x)) =A+bx
という直線近似に変換できて、あとは課題１と同じ理論が使える。最小２乗法による指数型関数近似のプログラムを作成し
ましょう。
以下のデータ（１つ目のデータで確認する。もう１つのデータでも実行する）に適用しましょう。
gnuplot でプロットしてみること。
【１目のデータ】
x y
100 0.0005
150 0.0025
200 0.022
250 1.5
300 10.0
350 125.0
400 1280.0
gnuplot> plot "input2
gnuplot> replot exp(-13.421768 + 0.052408 *x)
gnuplot> set log y
gnuplot> replot
【２つ目のデータ】
余裕のある人へ
（課題P1−４）
式 (3)と(3') を導出しなさい。また、前問で log を取った時の誤差の評価をどうすべきか考察しなさい。